Пенроуз (Тени разума: в поисках науки о сознании. Москва-Ижевск, 2005. Стр. 326.):
Если в рамках существующей на данный момент физической теории мы попытаемся отыскать какие бы то ни было следы процессов, хотя бы отчасти не поддающихся вычислению, то нас ждет разочарование.

Бог, в моем понимании, это не бородатый старичок, бог, это иррациональная, принципиально не познаваемая сущность, в силу непознаваемости находящаяся, по определению, за пределами науки. Т.е. требовать ее предъявления науке бессмысленно: все что будет предъявлено,это уже не бог. Бог определяется своими делами, чудесами. Вот существуют различные фонды, которые говорят, что чудес не бывает, предъявите нам чудо – мы мильен заплатим. Или наоборот, кто-то говорит, что он видел чудо, и они нанимают фокусника и фокусник повторяет чудо.

Так вот, есть необъяснимые тысячами лет чудеса, которые наука как ни бьется, повторить не может. Вот пример: на пороге 20-го века, по крайней мере, две школы математиков – Гильберта и Бурбаки пытаются строить математику от основ, и ищут исходный набор аксиом, чтобы автоматом вывсести все возможные правильные утверждения, и, напротив, опровергнуть ложные. Но что-то не клеится. И Гильберт на всемирном конгрессе ставит 20 проблем, вторая проблема как раз – дать ответ, а возможно ли из конечного набора аксиом построить всю математику. Задача крайне важная для двух школ – они лбом об пол бьются над этим. И вот, паренек, участник математического кружка, родившийся через пять лет после постановки проблемы, ее решает: окзывается, теоремы логически не доказываются, они берутся из интуиции, а свою теорему, он сказал, получил от Бога. И никто опровергнуть не может! Садили всяких фокусников, и мильен давали, а очередную проблему фокусники решить не могут. Не так давно проблему на мильен решил Гриша Перельман, и мильен, кстати, не взял – не захотел, видимо лавры чужие присваивать. Сечете? Более того, в одном медвытрезвителе, бомжу за пузырь для опохмелки, предложили доказать теорему Пифагора – ни в какую! А ведь мозги-то как у всех! Ведь «пентиум» научить играть в шахматы можно за пять минут, а человека – годы… Чудо? – Чудо! Но пентиум не может докзаывать теорем – разве не чудо?

Или вот, жизнь из первобытного бульена создал Случай – так говорит, молекулы сложились. Только вот тот паренек-то, Курт Гедель, а Тьюринг перепроверил, что как бы ни складывались удачно молекулы, они не смогут начать решать задачи, от сложения молекул жизнь не может появиться, в молекулах должно появиться нечто, что заставит молекулы думать, а шо це таке – наука лбом об пол бьется, сэр Роджер Пенроуз, книжку написал, что осознание, это, если не всевышний, то некое изначальное свойство материи, вроде гравитации. А потом, рассуждая о пяти измерениях, в сердцах говрит – да нет никаких пяти измерений – есть одно. Т.е. материя – в науке сущность лишняя, такая же лишняя, как и бог. Для описания всего сущего достаточно того, что есть разум, и всем остальным законам природы это не будет противоречить. Так что есть или нет бог – это личная вера каждого, и каждый прав. Можно верить в бога, можно – в науку, суть дела от этого не меняется.

Что касаемо неточностей, то наш с Вами спор способствует любознательному читателю самому во всем разобраться.
Я лишь оставлю дополнительно ссылочку на FASQu
- в этой подборке можно найти по этой теме кое-что интересное, в том числе и перечисленные Вами Д.Хофштадтера «ГЭБ …» и Успенского, а так же книги Р.Пенроуза.

Но как бы там ни было, соглесно Геделя если естьутверждение «некторое Предположение в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». то мы можем утверждать: «Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «Предположение недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «Предположение доказуемо».

Или здесь что-то не так по-Вашему?

А если еще короче, и понятней для обывателя, то Гедель доказал, что богатая логическая система всегда содержит парадоксы, которые алгоритмически не разрешимы, и может с этим справиться только интуиция, а не логика – вот, главный посыл всего – ничто не может заменить человеческую предприимчивость и интуицию, даже в математике, где, казалось бы, данным достоинствам меньше всего остается места. – Надеюсь Гедель в гробу не перевернется, услышав подобное?